הגדרות

יהי n מספר שלם חיובי אי-זוגי. נגדיר:

• M = T(n) = n(n+1)/2

• a = ⌊M/1000⌋ (רכיב האלפים)

• b = M mod 1000 (רכיב היתרה)

• S(n) = a + b (פירוק האלפים העברי)

• I(n) = T((n+1)/2) (המשולש ההפוך הפנימי)

אנו דורשים S(n) = I(n).

שלב 1: חסם תחתון

הפירוק משמעותי רק כאשר T(n) ≥ 1,000. ה-n הקטן ביותר כזה הוא 45, מכיוון ש-T(44) = 990 ו-T(45) = 1,035. לפיכך, אנו מגבילים ל-n אי-זוגי ≥ 45.

שלב 2: השוואת קצבי גדילה

המשולש הפנימי גדל באופן ריבועי: I(n) = T((n+1)/2) ≈ n²/8.

הסכום המפורק S(n) = ⌊T(n)/1000⌋ + (T(n) mod 1000). האיבר הראשון גדל בקירוב כ-n²/2000. האיבר השני חסום מלמעלה ב-999. לפיכך:

S(n) ≤ n²/2000 + 999

אנו צריכים I(n) > S(n), כלומר n²/8 > n²/2000 + 999. זה מפשט ל:

n² × (1/8 − 1/2000) > 999

n² × (249/2000) > 999

n² > 8,024

n > 89.6

לפיכך, עבור כל n אי-זוגי ≥ 91, המשולש ההפוך הפנימי I(n) עולה על הערך המרבי האפשרי של S(n). שום פתרון אינו יכול להתקיים מעבר ל-n = 89.

שלב 3: אימות סופי

נותר לבדוק כל n אי-זוגי בטווח 45 ≤ n ≤ 89. ישנם בדיוק 23 ערכים:

n=45: T(45)=1035, S=1+35=36, I=T(23)=276. לא שווה.

n=47: T(47)=1128, S=1+128=129, I=T(24)=300. לא שווה.

n=49: T(49)=1225, S=1+225=226, I=T(25)=325. לא שווה.

n=51: T(51)=1326, S=1+326=327, I=T(26)=351. לא שווה.

n=53: T(53)=1431, S=1+431=432, I=T(27)=378. לא שווה.

n=55: T(55)=1540, S=1+540=541, I=T(28)=406. לא שווה.

n=57: T(57)=1653, S=1+653=654, I=T(29)=435. לא שווה.

n=59: T(59)=1770, S=1+770=771, I=T(30)=465. לא שווה.

n=61: T(61)=1891, S=1+891=892, I=T(31)=496. לא שווה.

n=63: T(63)=2016, S=2+16=18, I=T(32)=528. לא שווה.

n=65: T(65)=2145, S=2+145=147, I=T(33)=561. לא שווה.

n=67: T(67)=2278, S=2+278=280, I=T(34)=595. לא שווה.

n=69: T(69)=2415, S=2+415=417, I=T(35)=630. לא שווה.

n=71: T(71)=2556, S=2+556=558, I=T(36)=666. לא שווה.

n=73: T(73)=2701, S=2+701=703, I=T(37)=703. שווה. ✓

n=75: T(75)=2850, S=2+850=852, I=T(38)=741. לא שווה.

n=77: T(77)=3003, S=3+3=6, I=T(39)=780. לא שווה.

n=79: T(79)=3160, S=3+160=163, I=T(40)=820. לא שווה.

n=81: T(81)=3321, S=3+321=324, I=T(41)=861. לא שווה.

n=83: T(83)=3486, S=3+486=489, I=T(42)=903. לא שווה.

n=85: T(85)=3655, S=3+655=658, I=T(43)=946. לא שווה.

n=87: T(87)=3828, S=3+828=831, I=T(44)=990. לא שווה.

n=89: T(89)=4005, S=4+5=9, I=T(45)=1035. לא שווה.

מסקנה

n = 73 הוא הפתרון היחיד. מ.ש.ל.

משמעות מבנית

ארבע התכונות יוצרות מבנה משולב. הערך הכולל של הפסוק הראשון (2,701) מקודד את הגאומטריה הפנימית שלו (T(37) = 703) באמצעות שני מנגנונים בלתי תלויים לחלוטין: אחד גאומטרי (המשולש ההפוך המוגדר על ידי הנקודה המרכזית) ואחד לשוני (שיטת הספרות העברית). העובדה ששני המנגנונים מניבים את אותה תוצאה — וכי התכנסות זו מתרחשת עבור אף מספר משולשי אחר — היא משפט מתמטי מוכח, לא עניין של פרשנות.

הנקודה המרכזית של T(73) היא 37. המשולש הפנימי מכיל T(37) = 703 נקודות. הקריסה הגמטרית של 2,701 מניבה 703. הגמטריא של "ואת הארץ" היא 703. אלו ארבעה מסלולים נפרדים לאותו מספר, מעוגנים בייחודיות שאינה מותירה מקום לדוגמה נגדית בין כל המספרים המשולשיים.

הערה על צרות החלון

נקודת ההתבדרות — n² > 8,024, כלומר n > 89.6 — מגיעה במהירות מפתיעה לאחר הפתרון עצמו. בין n = 73 (הפתרון) לבין n = 91 (שם ההוכחה סוגרת את הדלת לצמיתות), ישנם רק שמונה ערכים אי-זוגיים לבדיקה: 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89. אף אחד מהם אינו מקיים את התנאי.

החלון שבו תכונה זו יכולה אפילו תיאורטית להתקיים הוא צר באופן יוצא דופן. שני עקומות הגדילה — הפנים הגאומטרי (ריבועי, ≈ n²/8) ופירוק הספרות (חסום, ≈ n²/2000 + 999) — מתבדרות כה מהר שהן יכולות להיחתך רק בטווח זעיר של מספרים משולשיים. והן עושות זאת בדיוק פעם אחת, בדיוק בערך הגמטריא של הפסוק הראשון של התורה.